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專升本高數(shù)向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)性是什么

作者:好學(xué)校 來源:好學(xué)校 2024-03-11 280

  線性相關(guān)是指:在“線性”的意義下,所考慮的一些元素有關(guān)系;線性無關(guān)是指沒有關(guān)系。一般地,線性相關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組有非零解;線性無關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應(yīng)于一般的線性方程組的求解問題。

  通俗的說法,線性相關(guān)是指:在“線性”的意義下,所考慮的一些元素有關(guān)系;線性無關(guān)是指沒有關(guān)系。

  在向量空間中,要討論向量之間的關(guān)系,能且只能用加法與數(shù)乘這兩個運(yùn)算來實(shí)現(xiàn),這兩個運(yùn)算體現(xiàn)了“線性”的含義。通過加法與數(shù)乘可以構(gòu)造有限個向量的線性組合。如果一個向量不能由給定的有限個向量線性組合出來,這個向量和那些向量沒有線性關(guān)系!如果一個向量組中的任何向量和其余的沒有線性關(guān)系,就稱這個向量組線性無關(guān),否則線性相關(guān)。

  直觀上理解,線性相關(guān)的向量組中存在多余的向量,去掉它們不影響所考慮的問題。比如,在一個線性方程組中,如果一個方程(或其系數(shù)向量)是其余方程的線性組合,這個方程去掉得到同解的方程組。再比如,在一個向量組中,只需考慮極大無關(guān)組,它和原來的向量組是等價的。在一個有限維向量空間中,它的基很重要,基定了,整個空間中的向量就可以寫成基的線性組合的形式,且由無關(guān)性,這種表達(dá)方式是唯一的。

  相關(guān)定理是指:如果個數(shù)多的向量組可以由個數(shù)少的向量組線性表出,那么多的向量組必定線性相關(guān)。

  這個結(jié)論的證明主要用到未知量個數(shù)多于方程個數(shù)的齊次線性方程組必有非零解。向量的個數(shù)等于未知量的個數(shù),未知量越多,越有可能有非零解;向量分量的個數(shù)等于方程的個數(shù),方程越多,越有可能無解。

   一般地,線性相關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組有非零解;線性無關(guān)性對應(yīng)齊次線性方程組只有零解;一個向量表示為其它向量的線性組合對應(yīng)于一般的線性方程組的求解問題。因此,線性相關(guān)、線性無關(guān)性的討論,本質(zhì)上就是線性方程組的解的討論,這是同一個問題的兩種表現(xiàn)形式。

   任何無關(guān)向量組都可以擴(kuò)充成整個空間的一組基。由此可以說明:向量空間V的任何子空間U都存在補(bǔ)子空間W,使得V寫成U與W的直和。這時,也說向量空間總是可分解的。對其他的代數(shù)結(jié)構(gòu),一般沒有這么好的結(jié)論。事實(shí)上,向量空間是一種非常簡單的代數(shù)結(jié)構(gòu),單獨(dú)對它的研究沒有太大的意義,只是一種實(shí)驗(yàn)或練習(xí),或者作為其它更復(fù)雜的代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。

  通過給定的基,每個基元素的倍數(shù)是一個1維子空間,整個空間可寫成相應(yīng)的1維子空間的直和。不難看出:一個向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)由向量組中的向量確定的這些1維子空間成直和。由此可以定義向量空間的某些子空間的線性無關(guān)性:它們成直和。比如,不同特征值對應(yīng)的特征子空間是線性無關(guān)的,因?yàn)樗鼈兂芍焙?。即,屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)。

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